회전각 둘을 연속적으로 계산해야 할 때 생각할 지점 하나

August 2, 2025

연속적인 오일러 회전의 순서에 따른 결과 차이

오일러 회전을 연속적으로 계산할 때, \(roll\), \(pitch\), \(yaw\) 순서로 계산할 때와 역순으로 계산할 때는 결과가 다르다.
아래 그림에서 \(beam1(= +z)\)을 \(beam2\)로 회전변환 할 때 \(\theta\)각과 \(\phi\)각을 적용하는 순서에 따라 결과가 다르다는 뜻.

이 그림에서는 고각(\(\theta\))을 먼저 계산하는 느낌으로 표현되었음

게다가, 어떤 각을 먼저 계산하든, 회전 결과 \(beam2\)를 \(beam1\)과 비교하면 둘 사이의 각은 의도한 \(\theta\), \(\phi\)각과 다르다.
이 점은 아래 코드로 간단히 확인할 수 있다.

import numpy as np

def quaternion_from_vectors(v0, v1):
    v0 = v0 / np.linalg.norm(v0)
    v1 = v1 / np.linalg.norm(v1)
    dot = np.dot(v0, v1)

    if dot < -1 + 1e-6:
        # 180도 회전
        axis = np.cross(v0, np.array([1, 0, 0]))
        if np.linalg.norm(axis) < 1e-6:
            axis = np.cross(v0, np.array([0, 1, 0]))
        axis = axis / np.linalg.norm(axis)
        return np.array([0, *axis])
    elif dot > 1 - 1e-6:

        # 동일한 방향
        return np.array([1, 0, 0, 0])
    else:
        # 일반적인 경우
        axis = np.cross(v0, v1)
        s = np.sqrt((1 + dot) * 2)
        inv_s = 1 / s
        return np.array([s * 0.5, axis[0] * inv_s, axis[1] * inv_s, axis[2] * inv_s])

# q1·q2
def quaternion_multiply(q1, q2):
    w1, x1, y1, z1 = q1
    w2, x2, y2, z2 = q2
    return np.array([
        w1 * w2 - x1 * x2 - y1 * y2 - z1 * z2,
        w1 * x2 + x1 * w2 + y1 * z2 - z1 * y2,
        w1 * y2 - x1 * z2 + y1 * w2 + z1 * x2,
        w1 * z2 + x1 * y2 - y1 * x2 + z1 * w2
    ])

def quaternion_rotate_vector(q, v):
    q_conjugate = np.array([q[0], -q[1], -q[2], -q[3]])
    v_quat = np.array([0, *v])
    rotated_v = quaternion_multiply(quaternion_multiply(q, v_quat), q_conjugate)
    return rotated_v[1:]

# 종방향 각도(el)과 횡방향 각도(az)를 이용하여 빔 벡터를 계산합니다.
# el은 roll각(x축 회전)과 비슷하고, az는 pitch각(y축 회전)과 비슷한 개념
def quaternion_from_beam(el, az):
    # 종방향 회전 (roll = el)
    q_el = np.array([
        np.cos(el / 2), 
        np.sin(el / 2), 
        0, 
        0
    ])
    
    # 횡방향 회전 (pitch = az)
    q_az = np.array([
        np.cos(az / 2), 
        0, 
        np.sin(az / 2), 
        0
    ])
    
    # 두 회전을 결합하여 최종 쿼터니언을 계산
    # 통상적인 연산 순서는 yaw --> pitch -> roll 임 (여기서는 azimuth -> elevation 순서로 계산됨)
    q = quaternion_multiply(q_el, q_az)
    return q


# 두 벡터 v0와 v1 사이의 elevation 각도를 계산합니다.
def calc_el_angle(v0, v1):
    angle = -(np.arctan2(v1[1], v1[2]) - np.arctan2(v0[1], v0[2]))
    return angle


# 두 벡터 v0와 v1 사이의 azimuth 각도를 계산합니다.
def calc_az_angle(v0, v1):
    angle = np.arctan2(v1[0], v1[2]) - np.arctan2(v0[0], v0[2])
    return angle


if __name__ == "__main__":
    # el 각은 roll각(x축 회전)과 비슷한 개념
    # az 각은 pitch각(y축 회전)과 비슷한 개념
    el_az_angles = [[10, 0], [0, -10], [86.3, 89.2], [42.195, -32.1], [-21, -37], [-4, 2.5]]

    for el, az in el_az_angles:
        print("# Elevation:", el)
        print("# Azimuth:  ", az)

        el = np.deg2rad(el)
        az = np.deg2rad(az)

        # 기준 빔 벡터
        # 이 빔 벡터와 연산된 빔 벡터 사이의 회전을 계산하고
        # 두 빔 벡터 사이의 el, az 각을 각각 계산함
        beam_from = np.array([0, 0, 1])
        beam_to = quaternion_rotate_vector(quaternion_from_beam(el, az), beam_from)
        print("- Beam :", beam_from, "->", beam_to)

        # 두 벡터 사이의 elevation 각도 계산
        el_angle = calc_el_angle(beam_from, beam_to)
        print("- Elevation angle (degrees):", np.round(np.rad2deg(el_angle), 8))
        
        # 두 벡터 사이의 azimuth 각도 계산
        az_angle = calc_az_angle(beam_from, beam_to)
        print("- Azimuth angle (degrees):", np.round(np.rad2deg(az_angle), 8))

        print()

위 코드를 실행하면 다음과 같은 결과가 나온다.

# Elevation: 10
# Azimuth:   0
- Beam : [0 0 1] -> [ 0.         -0.17364818  0.98480775]
- Elevation angle (degrees): 10.0
- Azimuth angle (degrees): 0.0

# Elevation: 0
# Azimuth:   -10
- Beam : [0 0 1] -> [-0.17364818  0.          0.98480775]
- Elevation angle (degrees): -0.0
- Azimuth angle (degrees): -10.0

# Elevation: 86.3
# Azimuth:   89.2
- Beam : [0 0 1] -> [ 9.99902524e-01 -1.39330778e-02  9.01011726e-04]
- Elevation angle (degrees): 86.3
- Azimuth angle (degrees): 89.94837081

# Elevation: 42.195
# Azimuth:   -32.1
- Beam : [0 0 1] -> [-0.53139858 -0.56897447  0.62760147]
- Elevation angle (degrees): 42.195
- Azimuth angle (degrees): -40.25503681

# Elevation: -21
# Azimuth:   -37
- Beam : [0 0 1] -> [-0.60181502  0.28620537  0.74559048]
- Elevation angle (degrees): -21.0
- Azimuth angle (degrees): -38.90927699

# Elevation: -4
# Azimuth:   2.5
- Beam : [0 0 1] -> [0.04361939 0.06969008 0.99661459]
- Elevation angle (degrees): -4.0
- Azimuth angle (degrees): 2.50609697

위 코드는 \(\phi\)각 → \(\theta\)각 순으로 회전이동을 한 뒤에 원래 벡터와의 \(\theta (el)\), \(\phi (az)\) 각을 계산하는 코드이다.
\(\theta\)각과 \(\phi\)각 중 하나가 0이면 원하는 결과가 도출되지만, 둘 다 0이 아닌 경우엔 \(\phi\)각이 다르게 계산된다.

회전 비가환성의 해결

위와 같은 결과가 나오는 이유는 회전 비가환성(non-commutative) 때문이다.
즉, 회전 순서에 따라 결과가 다르다는 것이다.

이 문제를 해결하기 위해서는 먼저 계산하는 \(\phi\)각에 대해 발생할 수 있는 오차를 미리 반영해야 한다.
\(\phi\)각과 \(\theta\)각을 동시에 적용한 벡터를 생성한 뒤 \(\theta\)각을 역으로 적용하면 된다.
아래 코드는 이를 구현한 코드이다.

# 회전 비가환성(non-commutativity)을 해결할 수 있는 az 각도를 계산
# 이 함수의 결과만큼 az 각을 적용한 뒤 el 각을 적용하면
# el, az 각이 각각 종방향과 횡방향으로 정확히 적용됨
def calc_noncommutative_az_angle(el, az):
    az_ori = ((az + 180) % 360) - 180
    az_ori = 90 if az_ori > 90 else -90 if az_ori < -90 else az_ori

    el = np.deg2rad(el)
    az = np.deg2rad(az)

    x0 = np.tan(az)
    y0 = np.tan(el)
    z0 = 1.0

    # [x0, y0, z0]을 x 축 기준으로 el만큼 회전이동 시켜 [x1, y1, z1] 생성
    x1 = x0
    y1 = y0 * np.cos(el) - z0 * np.sin(el)
    z1 = y0 * np.sin(el) + z0 * np.cos(el)

    # y1은 0이 되어야 함
    #print(x1, y1, z1)

    # [x1, z1]와 [0, 1] 벡터의 사잇각(azimuthal angle)을 계산
    v1 = np.array([x1, z1])
    v2 = np.array([0, 1])
    v1_norm = v1 / np.linalg.norm(v1)
    v2_norm = v2 / np.linalg.norm(v2)
    dot = np.clip(np.dot(v1_norm, v2_norm), -1.0, 1.0)
    angle_rad = np.arccos(dot)
    angle_deg = np.rad2deg(angle_rad)

    if az_ori < 0:
        angle_deg = -angle_deg

    return angle_deg

처음 기술한 코드에 이 함수를 적용한 뒤 결과를 출력하면 아래와 같이 나온다.

# Elevation: 10
# Azimuth:   0
- derived azimuth angle: 0.0
- Beam : [0 0 1] -> [ 0.         -0.17364818  0.98480775]
- Elevation angle (degrees): 10.0
- Azimuth angle (degrees): 0.0

# Elevation: 0
# Azimuth:   -10
- derived azimuth angle: -10.0
- Beam : [0 0 1] -> [-0.17364818  0.          0.98480775]
- Elevation angle (degrees): -0.0
- Azimuth angle (degrees): -10.0

# Elevation: 86.3
# Azimuth:   89.2
- derived azimuth angle: 77.79053214
- Beam : [0 0 1] -> [ 0.97738096 -0.21104549  0.0136477 ]
- Elevation angle (degrees): 86.3
- Azimuth angle (degrees): 89.2

# Elevation: 42.195
# Azimuth:   -32.1
- derived azimuth angle: -24.92630127
- Beam : [0 0 1] -> [-0.42145214 -0.60909162  0.67185228]
- Elevation angle (degrees): 42.195
- Azimuth angle (degrees): -32.1

# Elevation: -21
# Azimuth:   -37
- derived azimuth angle: -35.12651334
- Beam : [0 0 1] -> [-0.57538379  0.29310325  0.76356007]
- Elevation angle (degrees): -21.0
- Azimuth angle (degrees): -37.0

# Elevation: -4
# Azimuth:   2.5
- derived azimuth angle: 2.49391782
- Beam : [0 0 1] -> [0.04351333 0.0696904  0.9966192 ]
- Elevation angle (degrees): -4.0
- Azimuth angle (degrees): 2.5

코드 최적화

회전 비가환성을 해결하고 보니 위의 코드는 최적화가 좀 필요하다.
최종적으로 필요한 사잇각을 계산한 뒤에 원래 각의 부호를 적용하는 방식으로 구현했는데, 뭔가 좀 복잡하다.

# 위 함수의 1차 최적화 버전
def calc_noncommutative_az_angle_v2(el, az):
    el = np.deg2rad(el)
    az = np.deg2rad(az)

    x0 = np.tan(az)
    y0 = -np.tan(el)
    z0 = 1
    
    # x0, y0, z0 벡터를 x축을 기준으로 -el 만큼 회전
    x1 = x0
    y1 = y0 * np.cos(-el) - z0 * np.sin(-el)
    z1 = y0 * np.sin(-el) + z0 * np.cos(-el)

    theta = np.arctan2(x1, z1)
    return np.rad2deg(theta)

이제 좀 간결해졌다.
그리고, 이렇게 정리하고 보니 좀 더 정리할 지점이 보인다.

# 최종 최적화 버전
def calc_noncommutative_az_angle_v3(el, az):
    el = np.deg2rad(el)
    az = np.deg2rad(az)

    x1 = np.tan(az)
    z1 = np.tan(el) * np.sin(el) + np.cos(el)

    theta = np.arctan2(x1, z1)
    return np.rad2deg(theta)

이렇게 계산된 각각 함수의 결과는 다음과 같다.

# Elevation: 10
# Azimuth:   0
- Calculated azimuth angle #1: 0.0 degrees
- Calculated azimuth angle #2: 0.0 degrees
- Calculated azimuth angle #3: 0.0 degrees

# Elevation: 0
# Azimuth:   -10
- Calculated azimuth angle #1: -10.0 degrees
- Calculated azimuth angle #2: -10.0 degrees
- Calculated azimuth angle #3: -10.0 degrees

# Elevation: 86.3
# Azimuth:   89.2
- Calculated azimuth angle #1: 77.79053214 degrees
- Calculated azimuth angle #2: 77.79053214 degrees
- Calculated azimuth angle #3: 77.79053214 degrees

# Elevation: 42.195
# Azimuth:   -32.1
- Calculated azimuth angle #1: -24.92630127 degrees
- Calculated azimuth angle #2: -24.92630127 degrees
- Calculated azimuth angle #3: -24.92630127 degrees

# Elevation: -21
# Azimuth:   -37
- Calculated azimuth angle #1: -35.12651334 degrees
- Calculated azimuth angle #2: -35.12651334 degrees
- Calculated azimuth angle #3: -35.12651334 degrees

# Elevation: -4
# Azimuth:   2.5
- Calculated azimuth angle #1: 2.49391782 degrees
- Calculated azimuth angle #2: 2.49391782 degrees
- Calculated azimuth angle #3: 2.49391782 degrees

서로 동일한 값이 나오는 것을 볼 수 있다.
실은 연산 방식에 따라 소수점 아래 14자리 정도에서 오차가 있다.
하지만 그 정도의 각도는 실세계에서는 아무 의미가 없는 수준.

X Facebook LinkedIn Bluesky

BLUEnLIVE

회전각 둘을 연속적으로 계산해야 할 때 생각할 지점 하나

연속적인 오일러 회전의 순서에 따른 결과 차이

회전 비가환성의 해결

코드 최적화

공유하기

참고

와잎좌 사귄 25주년 기념으로 아이들이 사준 식사

Notepad4 25.07 r5746 한국어화 공개

나에겐 만족스럽지 않은 영화 〈수퍼맨〉

2025년 스위스 여행 9-10일차꞉ 귀국