원 일부의 면적을 적분으로 계산
이 글은 이전 글의 일부 내용에 대한 부가적인 설명이다.
위 그림에서 진한 색으로 표시된 영역의 면적을 적분으로 계산해보고 싶었다.
프로그램으로 간단하게 계산하기 위해서는 좀 더 간단하게 근사해서 계산하는 방법이 있다.
그런데, 좀 더 엄밀하게 계산하는 방법을 찾고 싶었다.
Wolfram Alpha로 계산
Wolfram Alpha를 통해 계산해보니 위와 같은 결과가 나왔다.
이 결과를 보면서 다음과 같은 부정적분 식을 도출할 수 있었다.
MS Copilot (GPT-5) 활용
sqrt(L^2 - x^2)의 부정적분을 계산해줘. L은 상수이고, x에 대해서 계산해줘.
이 질문에 대해 MS Copilot은 다음과 같은 답을 내놓았다.
좋은 질문이에요! 우리가 풀고자 하는 적분은
\[\int \sqrt{L^2 - x^2}\, dx\]입니다. 여기서 \(L\)은 상수입니다.
풀이 과정 ✨
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삼각 치환
\[dx = L \cos \theta \, d\theta, \quad \sqrt{L^2 - x^2} = \sqrt{L^2 - L^2 \sin^2 \theta} = L \cos \theta\]
\(x = L \sin \theta\) 라고 두면,따라서 적분은
\[\int \sqrt{L^2 - x^2}\, dx = \int (L \cos \theta)(L \cos \theta \, d\theta) = L^2 \int \cos^2 \theta \, d\theta\] -
삼각함수 제곱 적분
\[\begin{align*} L^2 \int \cos^2 \theta \, d\theta & = \frac{L^2}{2} \int (1 + \cos 2\theta)\, d\theta\\ & = \frac{L^2}{2} \left( \theta + \frac{1}{2}\sin 2\theta \right) + C \end{align*}\]
\(\cos^2 \theta = \tfrac{1}{2}(1 + \cos 2\theta)\) 이므로, -
원래 변수로 복원
\[\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{2x}{L} \cdot \frac{\sqrt{L^2 - x^2}}{L} = \frac{2x \sqrt{L^2 - x^2}}{L^2}\]
\(\theta = \arcsin\left(\tfrac{x}{L}\right)\) 이고,따라서,
\[\frac{L^2}{2} \left( \theta + \frac{1}{2}\sin 2\theta \right) = \frac{L^2}{2} \arcsin\left(\frac{x}{L}\right) + \frac{x}{2}\sqrt{L^2 - x^2}\]
최종 결과 ✅
\(\int \sqrt{L^2 - x^2}\, dx = \frac{x}{2}\sqrt{L^2 - x^2} + \frac{L^2}{2}\arcsin\!\left(\frac{x}{L}\right) + C\)
여기서 다음과 같은 부정적분 식을 알 수 있다.
\[\int\sqrt{L^2-x^2}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{L^2-x^2}+\frac{L^2}{2}\arcsin\!\left(\frac{x}{L}\right)+C\]Wolfram Alpha의 결과와 이 식은 서로 달라 보이지만, 범위를 지정해서 계산해보면 결과가 같음을 확인할 수 있다.
덧. 이 글과 앞 글 모두 핵심적인 내용들은 AI를 통해 작성한 글들임
