정삼각형 내부의 정삼각형의 면적은? 1/3

 

 

---

국내 최초, 세계 최강, 우주 최강 수학 팟캐스트 《적.콩.무》에 몇년 전에 나온 문제를 이제야 도전해봤다.

문제는 다음과 같다.

정삼각형의 각 꼭지점에서 마주보는 변의 ⅓ 지점에 선을 그어 만들어지는 정삼각형의 넓이는?

일단 문제를 그림으로 그려보면 아래와 같다.
여기서 바깥 정삼각형과 안쪽 파란색 정삼각형의 넓이의 비를 묻는 문제이다.

step1

일단 파란색을 지운 뒤 최소한의 내용들만 그려보면 아래와 같다.

여기서 안쪽 삼각형의 꼭지점에서 마주보는 변과 평행한 직선을 그어 삼각형을 하나 그린다.

바깥쪽 삼각형을 \(\triangle ABC\) 라고 하고, 각 대변의 \(\frac {1}{3}\) 지점을 각각 \(D, E, F\) 라 부르기로 한다.
문제의 내부의 삼각형은 \(\triangle GHI\)라고 부르기로 한다.
그리고, \(G, H, I\)에서 그은 직선으로 만들어진 삼각형을 \(\triangle JKL\)이라고 부른다.

여기서 \(\overline {AJ}\)의 연장선과 \(\overline {CF}\)의 연장선이 만나는 점을 \(M\)이라 부른다.
여기서 만들어지는 \(\triangle AIM\) 은 정삼각형인데…

이게 왜 정삼각형인지 설명을 못 하겠다 (해석기하학으로 풀면 손쉽게 나오는 결론임)

여튼, \(\triangle AIM\)은 정삼각형이고, \(\triangle JHG,\triangle GHI,\triangle IHK,\triangle GIL\) 모두 합동인 정삼각형이다.
따라서, \(\triangle AJG\)도 \(\triangle GHI\)와 합동이다.

이에 따라 \(\overline {AG}\), \(\overline {BH}\), \(\overline {CI}\)와 \(\overline {GH}\)는 길이가 같다.
또한, \(O\)는 \(\overline {BD}\)의 중점이 되므로 \(\overline {BO}\)와 \(\overline {OD}\)와 \(\overline {DC}\)의 길이는 모두 같다.

step2

위에서 그은 선들로 원래의 삼각형을 나눠서 보면 아래와 같은 영역으로 표현할 수 있다.
그럼 전체 면적 \(D\)는 아래와 같다.

\(S = 3a + 3b + 3c + 3d + e\)

또한, 이 영역들은 아래와 같이 정리할 수 있다.

\[\begin{align} \frac{2S}{3} & = 2a + 2b + 2c + d + e\\ \frac{S}{3} & = a + b + c + 2d \end{align}\]

그리고, 이 두 식을 정리하면 다음과 같고,

\[e = 3d\]

이를 이용해 전체 면적 \(S\)를 조금 손보면 아래와 같다.

\[S = 3a + 3b + 3c + 6d\]

아래 그림에서는 다음과 같은 식을 도출할 수 있다.

\[2a = b + c + d\]

이를 이용해서 S를 좀 더 정리하면 이렇다.

\[S = \frac{9}{2}(b+c)+\frac{15}{2}d\]

아래 그림에서는 또 다음의 식을 도출할 수 있다.

\[b + c = 3d\]

그럼 최종적으로 전체 면적 \(S\)는 다음과 같다.

\[S = 21 d\]

그런데, 위에서 \(e = 3d\) 라고 했으니, 전체 면적 \(S\)는 \(e\)의 7배가 된다.