정삼각형 내부의 정삼각형의 면적은? 2/3

 

 

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이전 글에서 유클리드 기하학을 이용해 삼각형 내부의 삼각형의 면적을 구해봤는데, 결국 2% 부족한 답이 나왔다.
답은 맞는데, 그 답이 왜 맞는지를 완벽하게 답하지 못한 것이다.

그런데, 해석기하학으로는 훨씬 더 쉽게 답을 낼 수 있다.

세 꼭지점의 좌표를 각각 \(A(0, 0), B(6, 0), C(3, 3 \sqrt{3} )\) 이라 하자.
그럼 대변의 \(\frac {1}{3}\) 지점의 좌표 들은 각각 \(D(4, 2 \sqrt{3}), E(1, \sqrt{3}), F(4, 0)\)이다.

\(\overleftrightarrow{AD}\)의 방정식은 다음과 같다.

\[y = \frac{\sqrt{3}}{2}x\]

\(\overleftrightarrow{BE}\)의 방정식은 이렇다.

\[y = \frac{-\sqrt{3}}{5}x+\frac{6\sqrt{3}}{5}\]

\(\overleftrightarrow{CF}\)의 방정식은 이렇다.

\[y = -3\sqrt{3}x + 12\sqrt{3}\]

여기서 \(G\), \(H\)는 위 식들의 연립방정식을 풀면 된다. 각각의 좌표는 다음과 같다.

\(G( \frac{24}{7}, \frac{12\sqrt{3}}{7})\), \(H( \frac{12}{7}, \frac{6\sqrt{3}}{7})\).

즉, \(\overline {GH}\)의 길이는 \(\frac {6}{\sqrt{7}}\)이 된다.

바깥쪽 삼각형의 한 변의 길이는 \(6\)이므로 전체 면적은 작은 삼각형의 7배가 된다.