정삼각형 내부의 정삼각형의 면적은? 3/3

 

 

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Cogito, ergo sum으로 유명한 철학자로 근대를 열어제쳤으며, 좌표평면과 해석기하학을 창시한 위대하기 짝이 없는 수학자 데카르트가 창시한 해석기하학은 기하학을 완전히 새로운 세상으로 옮겼다.
천재적인 직관을 필요로 했던 유클리드 기하학을 다원 일차 방정식의 알고리즘 세상으로 끌고 내려와버린 것이다.

지난 포스팅들에서 다뤘던 문제 역시 훨씬 더티한(?) 분석도 가능해졌다. 예컨데,

1:2로 내분했을 때 외에도 r:1-r로 내분했을 때의 정삼각형의 넓이는?

도 손쉽게(?) 풀 수 있는 것이다.

이전과 같이 세 꼭지점의 좌표를 각각 \(A(0, 0), B(6, 0), C(3, 3 \sqrt{3} )\) 이라 하자.
그럼 대변의 \(\frac {1}{3}\) 지점의 좌표들은 각각 \(D(3 + 3r, 3 \sqrt {3} - 3 \sqrt{3} r), E( 3r, 3\sqrt{3}r), F(6-6r, 0)\)이다.

\(\overleftrightarrow{AD}\)의 방정식은 다음과 같다.

\[y = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{3}r}{1+r}x\]

\(\overleftrightarrow{BE}\)의 방정식은 이렇다.

\[y = \frac{\sqrt{3}r}{-2+r}x - \frac{6\sqrt{3}r}{-2+r}\]

\(\overleftrightarrow{CF}\)의 방정식은 이렇다.

\[y = \frac{-\sqrt{3}}{1-2r}x + \frac{6\sqrt{3}-6\sqrt{3}r}{1-2r}\]

여기서 \(G\), \(H\)는 위 식들의 연립방정식을 풀면 된다.
각각의 좌표는 다음과 같다.

\(G( \frac{3(1-r)(1+r)}{1-r+r^{2}}, \frac{3\sqrt{3}(1-r)^{2}}{1-r+r^{2}})\), \(H( \frac{3r(1+r)}{1-r+r^{2}}, \frac{3\sqrt{3}r(1-r)}{1-r+r^{2}})\).

즉, \(\overline {GH}\)의 길이의 제곱은 \(36 \frac{1-5r+9r^{2}-8r^{3}+4r^{4}}{(1-r+r^{2})^{2}}\)가 된다.

바깥쪽 삼각형의 한 변의 길이는 \(6\)이므로 전체 면적은 작은 삼각형의 \(\frac{(1-r+r^{2})^{2}}{1-5r+9r^{2}-8r^{3}+4r^{4}}\)배가 된다.

마지막으로, 일부 r 값에 대해 면적비를 계산하면 아래와 같이 나온다.

r=1/3일 때 면적비는 7

덧. 이 식들을 검증하면서 엑셀의 도움을 엄청나게 받았다.
계산이 틀려서 어디서부터 확인할 지 모를 상황들이 몇 번 터졌는데 결국 엑셀로 정리하면서 문제들을 해결했다.

\(r= \frac{1}{3}\)일 때의 각 좌표 및 방정식의 계수들은 아래와 같고,

가운데쯤 보이는 7은 면적의 7배라는 뜻

검증하기 위한 값들은 아래와 같았으며,

이를 그래프로 그리면 아래와 같이 예쁘게 나온다.

\(r=0.25\)일 때는 아래와 같은데,

3.25는 역시 면적비가 1:3.25라는 뜻

각종 기울기 등등은 아래와 같으며

그래프는 아래와 같다.